jueves, 25 de febrero de 2010

Proyección + Idea feliz = Radio de la Tierra

Si dijeramos que podemos calcular el radio de la Tierra con el palo de un recogedor de escoba la primera reacción seria de incredulidad, la segunda preguntar cómo. Para encontar al padre de esta respuesta necesitamos retroceder en el tiempo un par de milenios: Eratóstenes seria la mejor respuesta.
Eratóstenes nació en Cirene, una antigua ciudad griega en la actual Libia, probablemente en torno al año 276 a.C. Tras formarse con los mejores profesores y estudiar algunos años en la mismísima Atenas, Eratóstenes viajó en el 245 a.C. a Alejandría. Cinco años después se convertía en el tercer bibliotecario en la historia de la legendaria biblioteca de Alejandría, tras suceder a uno de sus antiguos maestros, el poeta y erudito Calímaco.
Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejaba totalmente el Sol. En definitivas cuentas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.


Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, pues distan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.

Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría.



Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de "arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes":




Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon. Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado por la expresión:




Sea como fuere, Eratóstenes obtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12'.
Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distancia estimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.
¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quien lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de 157 metros, mientras que para los griegos eran de unos 174m.
Independientemente de esto, Eratóstenes obtuvo un valor para el radio de la circunferencia terrestre de unos 252000 estadios, es decir, un error menor al 1%.

 En cualquier caso el método empleado por Eratóstenes es un alarde ingenio y de sencillez, y una extraordinaria aplicación del método científico.

Para saber un poco más de él: http://es.wikipedia.org/wiki/Eratostenes




Y para acabar un chiste: ¿En qué se diferencian un matemático, un físico y un ingeniero? 

El matemático construye un puente, se le cae y no sabe porqué.

El físico construye un puente, se le cae, pero sabe porqué.

El ingeniero constrye el puente, no se le cae y no sabe porqué....





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