Geometría Furtiva

Más allá de la circunferencia trazada en el encerado, de la proyección más costosa o la más dificil resolución de los problemas de tangencia, existe una geometría que desempeña un papel creciente y fundamental en la maquinaria bélica moderna: la geometría furtiva.

Es evidente que la geometría es fundamental en la aviónica o en la tecnología naval, pero hasta hace relativamente poco se desconocía la utilización, aparentemente, más simple de ella en este campo. Nos estamos refiriendo a la tecnología furtiva. Esta tecnología permite a un vehículo, sea por aire y más recientemente por mar, desarrollar misiones sin ser detectado. Aparte de las revolucionarias contramedidas electrónicas y el desarrollo de sistemas computerizados indetectables al radar un vehículo furtivo posee, principalmente, una geometría característica que le dota la letalidad y sigilo cual ave nocturna en la naturaleza.

El principal objetivo de la tecnología ya antes mencionada, y repercutiendo directamente en su forma, es la reflexión de las ondas del radar hacia direcciones distintas para evitar así que estas vuelvan y provoquen la detección del aparato. Este proceso se basa en la teoría de un científico ruso el cual aseguraba que las ondas electromagnéticas que refractaban sobre un cuerpo incidiendo sobre una determinada superficie podían no retornar al radar, siendo así invisible a éste.

No se sabe muy bien la causa, pero esta teoría fue a parar a manos del gobierno estadounidense que vio su gran potencial en el ejército.

Un aspecto importantísimo en relación a geometría-furtividad es la que apreciamos en una de nuestras fuentes:

“El uso de triángulos es bastante característico en los aviones furtivos. En la mayoría de los diseños, se utilizan bordes serrados en lugares críticos como las entradas de aire de los motores, las alas, las puertas de las bahías de carga, etc. Esto es más que visible en cualquier fotografía de los aviones mencionados previamente. Estos triángulos, más o menos pequeños, están hechos de manera que la onda, al ingresar, sea dirigida hacia el interior, de manera de rebotar en sus lados y salir, disminuida, hacia otra parte en lugar de volver al aparato emisor.”
 

Otro ejemplo del mismo estilo es el ala del YF-23. Con su forma de triángulo recortado en la punta, nos hace apreciar la inexistencia de ángulos agudos en ciertas partes del fuselaje de la aeronave, descubrimiento esencial en este campo y que centraba todos los esfuerzos en las colas de las aeronaves, parte del avión que más acentuaba su presencia en el monitor de cualquier centro de control aéreo.

Quizá el concepto más importante de este post lo resume un párrafo de nuestras fuentes:

“Una parte más sutil, menos visible pero igualmente importante del diseño furtivo es la alineación de las superficies. Esto es, que la mayoría de las superficies tengan orientaciones y ángulos similares, paralelos, en lugar de ángulos diferenciados. El ejemplo más claro es el del F-22, cuyas superficies de control en las alas y la cola mantienen el mismo ángulo, en planos paralelos. Esta parte del diseño está allí para lograr un efecto particular: hacer que la onda del radar se aleje en una sola dirección en lugar de desperdigarse hacia diferentes lugares, pudiendo alertar a otros radares.”


Para finalizar, comentar que actualmente y gracias al desarrollo de potentes ordenadores, la tecnología furtiva se aplica a curvas, pero a pesar de no apreciarse el interior de los vehículos de estas características esta formado por figuras geométricas simples llevándonos a la conclusión que lo simple y práctico es la mejor solución en casi todas las ocasiones.

Referencias:

Tecnología furtiva
Barcos furtivos
Furtividad naval
F-117

Duelos!!!

Como comentabamos en la sección del blog dedicada a los "Duelos" (actividad propuesta por los compañeros del blog Palabros) hemos publicado ya la resolución del primer reto propuesto. Esperamos que esta iniciativa salga adelante.

Proyección + Idea feliz = Radio de la Tierra

Si dijeramos que podemos calcular el radio de la Tierra con el palo de un recogedor de escoba la primera reacción seria de incredulidad, la segunda preguntar cómo. Para encontar al padre de esta respuesta necesitamos retroceder en el tiempo un par de milenios: Eratóstenes seria la mejor respuesta.

Eratóstenes nació en Cirene, una antigua ciudad griega en la actual Libia, probablemente en torno al año 276 a.C. Tras formarse con los mejores profesores y estudiar algunos años en la mismísima Atenas, Eratóstenes viajó en el 245 a.C. a Alejandría. Cinco años después se convertía en el tercer bibliotecario en la historia de la legendaria biblioteca de Alejandría, tras suceder a uno de sus antiguos maestros, el poeta y erudito Calímaco.

Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejaba totalmente el Sol. En definitivas cuentas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.

Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, pues distan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.

Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría.

Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de "arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes":

Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon. Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado por la expresión:

Sea como fuere, Eratóstenes obtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12'.

Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distancia estimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.

¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quien lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de 157 metros, mientras que para los griegos eran de unos 174m.

Independientemente de esto, Eratóstenes obtuvo un valor para el radio de la circunferencia terrestre de unos 252000 estadios, es decir, un error menor al 1%.

 En cualquier caso el método empleado por Eratóstenes es un alarde ingenio y de sencillez, y una extraordinaria aplicación del método científico.

Para saber un poco más de él: http://es.wikipedia.org/wiki/Eratostenes

Y para acabar un chiste: ¿En qué se diferencian un matemático, un físico y un ingeniero? 

El matemático construye un puente, se le cae y no sabe porqué.

El físico construye un puente, se le cae, pero sabe porqué.

El ingeniero constrye el puente, no se le cae y no sabe porqué....

Fractales

Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala. En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal (imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello), notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura principal.

Otro aspecto importante sobre los fractales es que su dimensión es fraccionaria. Es decir, en vez de ser unidimensional, bidimensional o tridimensional (como es en los objetos que nos son más familiares), la dimensión en la mayoría de los fractales no se ajusta a dichos conceptos tradicionales. Más aún, su valor raramente puede ser expresado con un número entero. Esto es, precisamente, lo que les ha dado su nombre.El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal, como los copos de nieve o las hojas de los helechos , incluso las conchas de los moluscos.

Más información:

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal

Fractales en la naturaleza:

http://www.youtube.com/watch?v=uas_HJNAzfw

Representación plana

Desde los tiempos en que el ser humano vio la necesidad de cambiar su posición por motivos de supervivencia o cualquier otro, siempre echó en falta un método de posicionamiento que le permitirera orientarse de una forma más o menos fiable. Por ello, se intentó representar la realidad en dos dimensiones de forma que se pudiera interpretar por ejemplo en una hoja. Es así como surgen los mapas, y con ellos la cartografía.

Las primeras representaciones surgen cuando el hombre dibujaba sobre la arena su propio entorno, cosa que ha ido evolucionando hasta hoy día con modernas técnicas de fotografía aérea o de otros tipos.

El que el mapa tenga propiedades métricas significa que ha de ser posible tomar medidas de distancias o ángulos sobre él y obtener un resultado aproximadamente exacto, esta es la utilidad tan preciada que poseen.

Como caso concreto, observamos que la expresión gráfica es empleada por ejemplo para "traducir" cotas de terreno sobre un mapa, lo que se conoce como curva de nivel, muy empleado, entre otros, por alpinistas.

Para finalizar, simplemente como curiosidad, mencionaremos el teorema de los cuatro colores, que nos dice que cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, sin que haya regiones adyacentes de un mismo color.

Espirales

¿En qué se parecen un tornillo, una galaxia y un caracol? Todos ellos tienen forma de espiral, una figura geométrica por la que la naturaleza y el hombre parecen sentir especial predileción. La forma el agua al colarse por el desague, las pipas de girasol cuando están en la planta, las telas de las arañas, las borrascas, las caracolas marinas, los cuernos de las cabras, los colmillos del elefante... El hombre también se aprovecha de sus virtudes y puedes observar que empleamos espirales todos los días, ya que están en los sacacorchos, los ventiladores, los discos musicales, los rollos de papel, el cable del teléfono o las cintas magnetofónicas. Seguro que si te fijas encuentras más espirales a tu alrededor.

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral

Historia del Teorema de Pitágoras

La mayoria de las veces, cuando aplicamos una propiedad o teorema, lo hacemos sin conocer las circunstancias que envolvieron su descubrimiento o demostración. La propiedad que nos viene contando el Teorema de Pitágoras como aqui lo conocemos, ya era utilizada desde hacía mas de 1500 años en Mesopotamia y en el antiguo Egipto.

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes (Triángulo sagrado egipcio). El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.

Triángulo sagrado egipcio:

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triágulo rectangulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...

Plimpton 322:

Hay cierta controversia acerca de si Pitágoras fué el primero en demostrar el teorema, pues se sabe de la existencia una demostración publicada en la obra matemática Chou Pei, de origen Chino, pudiendo ser ésta anterior a Pitágoras, aunque se cree que no llegó a conocer esta obra.

Demostración China:

Actualmente, el Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos (Maestro de las matemáticas).

El matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

Enlaces de interés:

Más demostraciones del teorema (Wikipedia) 

Documental de Pitágoras (3 partes)

Acerca de Pitágoras

Geometría en la naturaleza

Todo en la naturaleza tiende a la mínima energía. En los animales no hay cabida para esfuerzos no recompensados. Por ello, se tiende a la eficacia.

Un caso particular es el de las abejas. En el panal conviven miles de ellas, en un espacio realmente reducido, por lo que debe de estar aprovechado al máximo. Una forma de optimizar dicho espacio es utilizando la forma geométrica más optimizada de celdilla con la que construir el panal, por lo que se deben de cumplir dos condiciones:

         - No deben de haber huecos entre celdillas.

         - A un perímetro determinado, el área interior ha de ser máxima.

Por tanto las figuras geométricas que cumplen lo anterior se ven reducidas a tres: el triángulo, el cuadrado y el hexágono. De todas ellas, la que reune más área con un mismo perímetro es el hexágono. Y... vaya! Precisamente la forma geométrica que emplean las abejas!

La geometría no solo está en papel, sino ahí fuera, descúbrela.

Para la mente inquieta:
Información general de los panales
Demostración de las áreas

Introducción

Este blog surge como una forma de expresión en la que nosotros, un grupo de estudiantes de ingeniería técnica aeronáutica de la UPM, realizaremos una serie de entradas relacionadas con geometría, con tal de dar a conocer los aspectos más destacables y llamativos de ésta.

Enlaces de interés:

Web de la Escuela Universitaria de Ingenieria Técnica Aeronautica.

Web de la Universidad Politécnica de Madrid.