Soluciones de los Duelos

En esta parte del blog seguiremos el desarrolo de los "Duelos", actividad propuesta por nuestros compañeros del blog Palabros. Esta sección del blog se irá actualizando periodicamente para incluir todos los duelos resueltos.

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Duelo 3

09/03/2010 - Catetos de la geometría vs. Palabros

Enunciado: Realizar un triángulo equilátero semejante a otro que tenga una hipotenusa de 15 mm y un cateto de 10 mm.


Resolución:

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Dibujamos el triángulo rectángulo dato. Para ello dibujamos una circunferencia de radio 0,75 cm, tomamos uno de los diámetros posibles como hipotenusa ( recordemos que la semicircunferencia es un arco capaz de 90º) y por un extremo trazamos un arco de circunferencia de radio 1 cm. La intersección del arco y la semicircunferencia (semicircunferencia en que divide el diámetro tomado a la inicial) nos da el punto D del triángulo. Para trazar el triángulo basta pues con unir los puntos opuestos diametralmente (E y F) entre sí y con el punto D calculado anteriormente ( así obtenemos el triángulo que aparece marcado en azul).

Mediante el teorema de la altura calculamos la media proporcional de los segmentos asociados a la base y a la mitad de la altura del triángulo dato, obteniendo el segmento l (color rojo).

Dibujamos un triángulo equilátero cualquiera ( triángulo de color marrón) y calculamos la media proporcional del segmento asociado a su base y a la mitad de la altura haciendo uso en este caso del teorema del cateto. De este modo obtenemos el segmento e1 ( color verde).

Para finalizar, haciendo uso del teorema de Thales realizamos una homotecia con centro en O y la siguiente razón: media proporcional triángulo equilátero(e1)/lado del triángulo equilátero=media proporcional del triángulo rectángulo dato(l)/lado del triángulo equilátero buscado. Así obtenemos el lado del triángulo equilátero incógnita, y mediante cualquiera de las construcciones posibles procedemos a su trazado. (El triángulo equilátero solución aparece en color rosa).
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    Duelo 2

    26/02/2010 - Kon-Pas vs. Catetos de la geometría

    Enunciado: Determinar gráficamente un círculo c equivalente (de igual áerea) al  hexágono irregular ABCDEF dado.

    Resolución:

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     Transformamos el hexágono irregular en un pentágono irregular de área equivalente.

    El pentágono al igual que el hexágono ahora lo transformamos en un triangulo de área equivalente (dividimos el pentágono en triángulos para ello movemos sus vértices conservando alturas).

    Hacemos media proporcional entre la mitad de la altura del triángulo y su base obteniendo el lado del cuadrado equivalente.

    El lado obtenido lo dividimos en once partes, tomamos siete de ellas y de esas siete la mitad.

    De la media proporcional de 7/2 y el lado del cuadrado obtenemos el radio del circulo equivalente.


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    Duelo 1

    23/02/2010 - Palabros vs. Kon-Pas

    Enunciado: Dadas tres circunferencias c1, c2 y c3 y tres puntos A1, A2 y A3, hallar una circunferencia c de forma que los ejes radicales de la circunferencia c con las c1, c2 y c3 pasen, respectivamente por los puntos A1, A2 y A3

    Resolución: Para ir siguiendo uno a uno los pasos, pulsad en Vista; Protocolos de la Construcción, hay una explicación detallada un poco más abajo, doble click en la ventana para abrir la resolución del ejercicio en una ventana nueva.


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    Los puntos de los Ejes Radicales ER1, ER2 y ER3, tienen la propiedad de tener la misma potencia respecto a la circunferencia solución c y a las circunferencias c1, c2 y c3 respectivamente, por lo tanto si cogemos por ejemplo el punto A1 (situado en el ER1) y hallamos la circunferencia ortogonal a c1 (no es más que una circunferencia centrada en A1 y de radio la potencia de este punto a c1) la circunferencia que habremos obtenido será a su vez ortogonal a la circunferencia solución.

    Repetimos el proceso con los puntos A2 y A3, obteniendo así 3 circunferencias (c4, c5, c6) ortogonales a la circunferencia solución c. Si estas 3 circunferencias son ortogonales a c, se puede deducir que la circunferencia c tendrá que ser ortogonal a c4, c5 y c6, por lo tanto y por definición de Centro Radical (CR), esta circunferencia c deberá tener su centro en el CR. Por lo que la dificultad ahora se haya en encontrar el CR de c4, c5 y c6.

    El CR de las 3 circunferencias, será por ejemplo la intersección de los Ejes Radicales ER4 (entre c4 y c5) y ER5 (entre c5 y c6) para obtener estos ejes necesitamos una circunferencia auxiliar (caux) que corte a las c4, c5 y c6. La construcción para obtener el CR la podéis apreciar mejor en el GeoGebra.

    El CR que hemos hallado, será el centro de nuestra circunferencia solución c. Por lo que ahora ya solo nos falta encontrar su radio, el cual será la potencia de CR a cualquiera de las circunferencias c4, c5 o c6, da igual ya que en los tres casos la potencia será la misma. Con esto obtenemos una circunferencia centrada en CR y ortogonal a c4, c5 y c6 que era lo que estábamos buscando y que es la circunferencia solución c que nos pide el problema.

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