Representación plana

Desde los tiempos en que el ser humano vio la necesidad de cambiar su posición por motivos de supervivencia o cualquier otro, siempre echó en falta un método de posicionamiento que le permitirera orientarse de una forma más o menos fiable. Por ello, se intentó representar la realidad en dos dimensiones de forma que se pudiera interpretar por ejemplo en una hoja. Es así como surgen los mapas, y con ellos la cartografía.

Las primeras representaciones surgen cuando el hombre dibujaba sobre la arena su propio entorno, cosa que ha ido evolucionando hasta hoy día con modernas técnicas de fotografía aérea o de otros tipos.

El que el mapa tenga propiedades métricas significa que ha de ser posible tomar medidas de distancias o ángulos sobre él y obtener un resultado aproximadamente exacto, esta es la utilidad tan preciada que poseen.

Como caso concreto, observamos que la expresión gráfica es empleada por ejemplo para "traducir" cotas de terreno sobre un mapa, lo que se conoce como curva de nivel, muy empleado, entre otros, por alpinistas.

Para finalizar, simplemente como curiosidad, mencionaremos el teorema de los cuatro colores, que nos dice que cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, sin que haya regiones adyacentes de un mismo color.

Espirales

¿En qué se parecen un tornillo, una galaxia y un caracol? Todos ellos tienen forma de espiral, una figura geométrica por la que la naturaleza y el hombre parecen sentir especial predileción. La forma el agua al colarse por el desague, las pipas de girasol cuando están en la planta, las telas de las arañas, las borrascas, las caracolas marinas, los cuernos de las cabras, los colmillos del elefante... El hombre también se aprovecha de sus virtudes y puedes observar que empleamos espirales todos los días, ya que están en los sacacorchos, los ventiladores, los discos musicales, los rollos de papel, el cable del teléfono o las cintas magnetofónicas. Seguro que si te fijas encuentras más espirales a tu alrededor.

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral

Historia del Teorema de Pitágoras

La mayoria de las veces, cuando aplicamos una propiedad o teorema, lo hacemos sin conocer las circunstancias que envolvieron su descubrimiento o demostración. La propiedad que nos viene contando el Teorema de Pitágoras como aqui lo conocemos, ya era utilizada desde hacía mas de 1500 años en Mesopotamia y en el antiguo Egipto.

Los egipcios lo utilizaron de una forma práctica para la construcción de ángulos rectos, hecho de gran utilidad a la hora de realizar obras arquitectónicas. Tomando una cuerda y haciéndole una serie de nudos de forma que queden determinada en ella 12 partes iguales, se ponía la cuerda formando un triangulo cuyos lados fuesen 3, 4 y 5 partes (Triángulo sagrado egipcio). El ángulo opuesto al lado mayor es siempre un ángulo de 90º.

Triángulo sagrado egipcio:

Más mérito tiene todavía uno de los pueblos que vivía en Mesopotamia, los babilonios. Su método de escritura se conoce con el nombre de cuneiforme. Consistía en la grabación de una serie de marcas sobre tablillas de arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontró en ella fue una lista de ternas pitagóricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres números enteros que se corresponden con los tres lados de un triágulo rectangulo (verifican el teorema de Pitágoras). Algunos ejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...

Plimpton 322:

Hay cierta controversia acerca de si Pitágoras fué el primero en demostrar el teorema, pues se sabe de la existencia una demostración publicada en la obra matemática Chou Pei, de origen Chino, pudiendo ser ésta anterior a Pitágoras, aunque se cree que no llegó a conocer esta obra.

Demostración China:

Actualmente, el Teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración de él para alcanzar el grado de Magíster matheseos (Maestro de las matemáticas).

El matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

Enlaces de interés:

Más demostraciones del teorema (Wikipedia) 

Documental de Pitágoras (3 partes)

Acerca de Pitágoras

Geometría en la naturaleza

Todo en la naturaleza tiende a la mínima energía. En los animales no hay cabida para esfuerzos no recompensados. Por ello, se tiende a la eficacia.

Un caso particular es el de las abejas. En el panal conviven miles de ellas, en un espacio realmente reducido, por lo que debe de estar aprovechado al máximo. Una forma de optimizar dicho espacio es utilizando la forma geométrica más optimizada de celdilla con la que construir el panal, por lo que se deben de cumplir dos condiciones:

         - No deben de haber huecos entre celdillas.

         - A un perímetro determinado, el área interior ha de ser máxima.

Por tanto las figuras geométricas que cumplen lo anterior se ven reducidas a tres: el triángulo, el cuadrado y el hexágono. De todas ellas, la que reune más área con un mismo perímetro es el hexágono. Y... vaya! Precisamente la forma geométrica que emplean las abejas!

La geometría no solo está en papel, sino ahí fuera, descúbrela.

Para la mente inquieta:
Información general de los panales
Demostración de las áreas

Introducción

Este blog surge como una forma de expresión en la que nosotros, un grupo de estudiantes de ingeniería técnica aeronáutica de la UPM, realizaremos una serie de entradas relacionadas con geometría, con tal de dar a conocer los aspectos más destacables y llamativos de ésta.

Enlaces de interés:

Web de la Escuela Universitaria de Ingenieria Técnica Aeronautica.

Web de la Universidad Politécnica de Madrid.