Gaspard Monge : El padre de la geometría descriptiva

(Beaune, Francia, 1746-París, 1818) Matemático francés. Hijo de un comerciante, sus grandes dotes para el dibujo (siendo muy joven realizó un perfecto mapa de su ciudad natal) le abrieron las puertas de la Escuela Militar de Mezières. Allí empezó a desarrollar métodos de representación de objetos tridimensionales mediante su proyección sobre dos planos, métodos que fueron clasificados como de alto secreto por el ejército y que constituyen los inicios de la geometría descriptiva, siendo el sistema diédrico el más célebre de todos ellos.  Un año después de ingresar en la Escuela, le encargaron desenfilar una posición en un terreno accidentado. (Desenfilar una posición es protegerla del fuego enemigo). Monge aplicó los métodos geométricos que había desarrollado y resolvió el problema con extraordinaria rapidez. Monge tuvo que explicar a sus profesores el método de resolución y esto le valió el reconocimiento. Bossut, que era profesor de Matemáticas, le nombró 'répétiteur' (una especie de profesor individual de alumnos) de matemáticas y cuando Bossut fue designado examinador de alumnos de ingenieros, Monge ocupó su plaza. Esto ocurrió el 1 de enero de 1769.

-En 1769, Monge escribió a Bossut, quién había sido nombrado miembro de la Academia de las Ciencias, comunicándole un trabajo que había realizado sobre evolutas. Bossut alabó el trabajo y fue leído en la Academia en 1771.

-En 1771 fue nombrado profesor de Física de la Escuela.

-En 1777 se casó con Catherine Huart. Su esposa, tenía una forja y Monge se interesó por la metalurgia. Tuvo tres hijas.

-En 1780 fue nombrado adjunto a la Academia de Ciencias de París.

-En 1784 dejó su plaza en Mezieres porque no la podía atender debido a sus múltiples ocupaciones, entre ellas la de examinador de los cadetes navales. En este puesto de examinador, Monge seleccionaba a los candidatos por su valía, lo que le originó algún problema pues, en aquella época, los orígenes eran más determinantes que los conocimientos.

-1789 fue el año de la Revolución francesa. Monge era uno de los científicos más importantes de Francia y apoyaba la Revolución.

-En 1792 fue abolida la monarquía y Monge fue nombrado Ministro de Marina del nuevo Gobierno. Dimitió ocho meses después y volvió a su puesto en la Academia de las Ciencias, pero esta fue abolida en 1793.

-Fue el encargado de firmar la condena oficial a muerte de Luis XVI.

-Amigo personal de Napoleón Bonaparte, acompañó al entonces general en su campaña de Egipto (1798-1801). A su regreso continuó dando clases en la Polytechnique; su labor pedagógica resultó decisiva en la formación de una espléndida generación de geómetras franceses, entre los que cabe citar a Poncelet, Dupin, Meusnier y Rodrigues. La caída de Napoleón hace que le excluyan del Instituto y de la escuela Politécnica. Murió en París el 28 de julio de 1818 y fue enterrado en el cementerio del Père-Lachaise.

La contribución de Monge a la geometría fue inmensa, tanto en diversidad como en profundidad; amén de la rama descriptiva, se le considera a menudo el fundador de la geometría diferencial. En su obra Aplicaciones del análisis a la geometría introdujo importantes conceptos. Además fue el primero en emplear de forma sistemática las ecuaciones en derivadas parciales para el estudio de las superficies. En su doble faceta de científico y pedagogo, se le considera el principal responsable de la gran expansión experimentada por la geometría en el siglo XIX.

Más información:

http://es.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_di%C3%A9drico

 

Fotos de clase

Aquí tenemos algunas fotos de algunos ejercicios hechos en la pizarra por si alguien no le ha dado tiempo a copiarlos. Siento mucho la mala calidad. Intentaré que las próximas sean mejores.

Geometría engañosa

Una muestra de como jugando con la perspectiva se puede engañar a los sentidos

¿Seguro que es un cubo?

No hay ninguna línea curva, lo que vemos es producto de una ilusión óptica

Las rectas son paralelas que parten de un mismo foco, no se ensanchan en los extremos

De nuevo una ilusión óptica. Todo lo que ves son líneas rectas

La línea blanca es la mediatriz de la recta aunque no lo creas. Compruébalo tu mismo

Por efecto de la perspectiva creemos que ambas líneas negras no son iguales

Igual que antes, los tres miden exactamente lo mismo

La diferencia de tamaño de los círculos verdes nos hacen creer que el círculo rojo de abajo es mayor que el de arriba.

Duelos Actualizados!!!

Tras un breve periodo de varios exámenes en la EUITA debido a los cuales no hemos podido publicar nada nuevo, volvemos a tomar las riendas del blog actualizando la sección de los Duelos.

Geometría Furtiva

Más allá de la circunferencia trazada en el encerado, de la proyección más costosa o la más dificil resolución de los problemas de tangencia, existe una geometría que desempeña un papel creciente y fundamental en la maquinaria bélica moderna: la geometría furtiva.

Es evidente que la geometría es fundamental en la aviónica o en la tecnología naval, pero hasta hace relativamente poco se desconocía la utilización, aparentemente, más simple de ella en este campo. Nos estamos refiriendo a la tecnología furtiva. Esta tecnología permite a un vehículo, sea por aire y más recientemente por mar, desarrollar misiones sin ser detectado. Aparte de las revolucionarias contramedidas electrónicas y el desarrollo de sistemas computerizados indetectables al radar un vehículo furtivo posee, principalmente, una geometría característica que le dota la letalidad y sigilo cual ave nocturna en la naturaleza.

El principal objetivo de la tecnología ya antes mencionada, y repercutiendo directamente en su forma, es la reflexión de las ondas del radar hacia direcciones distintas para evitar así que estas vuelvan y provoquen la detección del aparato. Este proceso se basa en la teoría de un científico ruso el cual aseguraba que las ondas electromagnéticas que refractaban sobre un cuerpo incidiendo sobre una determinada superficie podían no retornar al radar, siendo así invisible a éste.

No se sabe muy bien la causa, pero esta teoría fue a parar a manos del gobierno estadounidense que vio su gran potencial en el ejército.

Un aspecto importantísimo en relación a geometría-furtividad es la que apreciamos en una de nuestras fuentes:

“El uso de triángulos es bastante característico en los aviones furtivos. En la mayoría de los diseños, se utilizan bordes serrados en lugares críticos como las entradas de aire de los motores, las alas, las puertas de las bahías de carga, etc. Esto es más que visible en cualquier fotografía de los aviones mencionados previamente. Estos triángulos, más o menos pequeños, están hechos de manera que la onda, al ingresar, sea dirigida hacia el interior, de manera de rebotar en sus lados y salir, disminuida, hacia otra parte en lugar de volver al aparato emisor.”
 

Otro ejemplo del mismo estilo es el ala del YF-23. Con su forma de triángulo recortado en la punta, nos hace apreciar la inexistencia de ángulos agudos en ciertas partes del fuselaje de la aeronave, descubrimiento esencial en este campo y que centraba todos los esfuerzos en las colas de las aeronaves, parte del avión que más acentuaba su presencia en el monitor de cualquier centro de control aéreo.

Quizá el concepto más importante de este post lo resume un párrafo de nuestras fuentes:

“Una parte más sutil, menos visible pero igualmente importante del diseño furtivo es la alineación de las superficies. Esto es, que la mayoría de las superficies tengan orientaciones y ángulos similares, paralelos, en lugar de ángulos diferenciados. El ejemplo más claro es el del F-22, cuyas superficies de control en las alas y la cola mantienen el mismo ángulo, en planos paralelos. Esta parte del diseño está allí para lograr un efecto particular: hacer que la onda del radar se aleje en una sola dirección en lugar de desperdigarse hacia diferentes lugares, pudiendo alertar a otros radares.”


Para finalizar, comentar que actualmente y gracias al desarrollo de potentes ordenadores, la tecnología furtiva se aplica a curvas, pero a pesar de no apreciarse el interior de los vehículos de estas características esta formado por figuras geométricas simples llevándonos a la conclusión que lo simple y práctico es la mejor solución en casi todas las ocasiones.

Referencias:

Tecnología furtiva
Barcos furtivos
Furtividad naval
F-117

Duelos!!!

Como comentabamos en la sección del blog dedicada a los "Duelos" (actividad propuesta por los compañeros del blog Palabros) hemos publicado ya la resolución del primer reto propuesto. Esperamos que esta iniciativa salga adelante.

Proyección + Idea feliz = Radio de la Tierra

Si dijeramos que podemos calcular el radio de la Tierra con el palo de un recogedor de escoba la primera reacción seria de incredulidad, la segunda preguntar cómo. Para encontar al padre de esta respuesta necesitamos retroceder en el tiempo un par de milenios: Eratóstenes seria la mejor respuesta.

Eratóstenes nació en Cirene, una antigua ciudad griega en la actual Libia, probablemente en torno al año 276 a.C. Tras formarse con los mejores profesores y estudiar algunos años en la mismísima Atenas, Eratóstenes viajó en el 245 a.C. a Alejandría. Cinco años después se convertía en el tercer bibliotecario en la historia de la legendaria biblioteca de Alejandría, tras suceder a uno de sus antiguos maestros, el poeta y erudito Calímaco.

Eratóstenes observó que esto no ocurría en Alejandría, es decir, que al mediodía del solsticio de verano, una vara clavada en la tierra proyectaba una sombra, que las torres y los árboles también la proyectaban, y que en ningún pozo se reflejaba totalmente el Sol. En definitivas cuentas, al contrario que en Siena, en ese mismo instante, el Sol no se encontraba en el cenit de la ciudad de Alejandría.

Esta diferencia solo podía ser explicada si la Tierra no era plana, y asumiendo que Siena y Alejandría se encuentran en el mismo meridiano, es decir tienen la misma longitud geográfica (lo cual no es del todo cierto, pues distan unos 3º), Eratóstenes realizó una hipótesis genial: considerar que el Sol está lo suficientemente lejos como para que sus rayos lleguen a la Tierra completamente paralelos.

Bajo esta hipótesis, al mediodía del solsticio de verano, los rayos de Sol inciden directamente en Siena, pero hacen un ángulo con la vertical en Alejandría. Es fácil ver que, asumiendo que "líneas que cortan rectas paralelas forman ángulos opuestos iguales" (algo no evidente en la época de Eratóstenes), este ángulo es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría.

Eratóstenes dedujo que si lograba medir este ángulo, y por otro lado determinaba la distancia lineal entre Siena y Alejandría, podría estimar el radio de la Tierra. Bastaba con aplicar la ley de "arcos de círculo relativos a ángulos iguales son semejantes":

Según el historiador Cleomedes, para el cálculo del ángulo, Eratóstenes midió la sombra que el Sol proyectaba al mediodía del solsticio de verano, sobre un scaphium o gnomon. Otros historiadores defienden que midió la sombra de una torre. En cualquier caso, el ángulo viene dado por la expresión:

Sea como fuere, Eratóstenes obtuvo una medida para la diferencia de latitud geográfica entre Siena y Alejandría de 1/50 parte de la circunferencia, es decir, unos 7º 12'.

Pero, para completar el cálculo necesitaba medir de la distancia lineal entre Siena y Alejandría, algo complicado en una época donde no había GPS. El método empleado depende de la fuente. En la mayoría de los casos se asegura que lo obtuvo de la distancia estimada por las caravanas de camellos que comerciaban entre ambas ciudades, aunque perfectamente pudo ser un dato que obtuvo de la propia biblioteca de Alejandría. En cualquier caso, estimó una distancia de 5000 “estadios”.

¿Y que es un “estadio”?. Pues una medida de longitud de la época, que como era habitual, su valor depende de quien lo definiera. Por ejemplo, los estadios egipcios eran de 157 metros, mientras que para los griegos eran de unos 174m.

Independientemente de esto, Eratóstenes obtuvo un valor para el radio de la circunferencia terrestre de unos 252000 estadios, es decir, un error menor al 1%.

 En cualquier caso el método empleado por Eratóstenes es un alarde ingenio y de sencillez, y una extraordinaria aplicación del método científico.

Para saber un poco más de él: http://es.wikipedia.org/wiki/Eratostenes

Y para acabar un chiste: ¿En qué se diferencian un matemático, un físico y un ingeniero? 

El matemático construye un puente, se le cae y no sabe porqué.

El físico construye un puente, se le cae, pero sabe porqué.

El ingeniero constrye el puente, no se le cae y no sabe porqué....